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対称には、上下対称、左右対称、点対称のほかに回転対称がありますが、回転対称は後述するとして、最初の3つについて市章の分布をざっくり調査した結果です。面白い市章にはリンクを貼りました。

①上下左右対称（点対称でもある）46市
小樽市, 北見市, 岩見沢市, 稚内市, 黒石市, 盛岡市, 秋田市, 米沢市, 田村市, 宇都宮市, 前橋市, 高崎市, 行田市, 秩父市, 銚子市, 松戸市, 八街市, 八王子市, 新発田市, 小千谷市, 福井市, 甲州市, 岡谷市, 塩尻市, 岐阜市, 伊東市, 下田市, 豊橋市, 西尾市, 蒲郡市, 岩倉市, 四日市市, 草津市, 豊中市, 池田市, 尼崎市, 明石市, 伊丹市, 加古川市, 大和郡山市, 米子市, 笠岡市, 新居浜市, 大洲市, 大牟田市, 日南市

②点対称（上下左右対称ではない）38市
滝川市, 弘前市, 花巻市, 仙台市, 多賀城市, 新庄市, 南陽市, いわき市, 二本松市, 石岡市, 潮来市, 伊勢崎市, 府中市, 日野市, 狛江市, 稲城市, 南砺市, 射水市, 珠洲市, 野々市市, 韮崎市, 飯田市, 須坂市, 三島市, 藤枝市, 豊川市, みよし市, 長久手市, 泉南市, 宝塚市, 宇陀市, 大竹市, 下松市, 古賀市, 那珂川市, 島原市, 対馬市, 日田市

③左右対称（上下対称ではない）86市以上（神奈川県までの調査）
旭川市, 室蘭市, 釧路市, 帯広市, 留萌市, 美唄市, 赤平市, 紋別市, 三笠市, 砂川市, 歌志内市, 登別市, 北広島市, 青森市, 八戸市, 十和田市, 平川市, 宮古市, 大船渡市, 陸前高田市, 釜石市, 二戸市, 八幡平市, 石巻市, 塩竈市, 白石市, 角田市, 大館市, 由利本荘市, 山形市, 鶴岡市, 長井市, 東根市, 会津若松市, 郡山市, 水戸市, 日立市, 土浦市, 古河市, 龍ヶ崎市, 常陸太田市, 高萩市, 小山市, 大田原市, 真岡市, 矢板市, 桐生市, 館林市, 藤岡市, 安中市, 熊谷市, 川口市, 所沢市, 飯能市, 狭山市, 越谷市, 志木市, 和光市, 北本市, 富士見市, 幸手市, 鶴ヶ島市, 吉川市, 千葉市, 市川市, 船橋市, 木更津市, 佐倉市, 東金市, 市原市, 君津市, 富津市, 浦安市, 四街道市, 大網白里市, 青梅市, 清瀬市, 国立市, 小金井市, 小平市, 東大和市, 川崎市, 平塚市, 逗子市, 三浦市, 南足柄市 .....

④上下対称（左右対称ではない）4市以上（神奈川県までの調査）※後述の鈴鹿市も上下対称
湯沢市, かすみがうら市, 上尾市, 茂原市 .....

問七の想定解は①と②の84市になります。左右対称（のみ）は100市以上200市を超えるかもしれません。一方、上下対称（のみ）は極めて少数派になります。興味のある方は新潟県以降の調査をしてみてください。

次に、Ｎさんをはじめ皆さんが悩まされた切れ込みなどで微妙に点対称にならない市章を集めてみました。

⑤切れ込み（鈴鹿市は上下対称、鹿児島市は左右対称）
蕨市, 横浜市, 鈴鹿市, 鹿児島市
⑥微妙な形の違い
志摩市, 彦根市, 京田辺市
⑦色違い
一関市, つくば市, ひたちなか市, 佐野市, 菊川市, いなべ市, 諫早市

とここまで書いて疲れちゃったので（笑、
[103805] BEANさん
奇数では駄目なのか……。
とBEANさんが呟いた回転対称については、後編で書きたいと思います（おそらく明日）。

[103838]グリグリさん
興味のある方は新潟県以降の調査をしてみてください。
ということで…

③左右対称（上下対称ではない）245市
（神奈川県以前の漏れ）：加須市、草加市、白岡市
（新潟県以降）：新潟市、柏崎市、加茂市、妙高市、富山市、氷見市、小矢部市、金沢市、小松市、羽咋市、敦賀市、小浜市、勝山市、鯖江市、甲府市、富士吉田市、大月市、南アルプス市、小諸市、大町市、飯山市、茅野市、大垣市、高山市、中津川市、羽島市、恵那市、土岐市、各務原市、飛騨市、富士宮市、富士市、岡崎市、一宮市、瀬戸市、半田市、春日井市、碧南市、刈谷市、豊田市、安城市、常滑市、江南市、稲沢市、知立市、高浜市、豊明市、弥富市、あま市、鳥羽市、近江八幡市、甲賀市、湖南市、福知山市、宇治市、八幡市、大阪市、堺市、岸和田市、泉大津市、高槻市、八尾市、泉佐野市、寝屋川市、松原市、大東市、和泉市、羽曳野市、門真市、藤井寺市、交野市、神戸市、洲本市、芦屋市、赤穂市、西脇市、三木市、高砂市、川西市、加西市、養父市、丹波市、淡路市、宍粟市、奈良市、大和高田市、天理市、橿原市、桜井市、御所市、生駒市、香芝市、葛城市、橋本市、有田市、田辺市、新宮市、岩出市、松江市、出雲市、益田市、大田市、岡山市、津山市、高梁市、美作市、広島市、呉市、竹原市、尾道市、福山市、府中市（広島）、東広島市、廿日市市、安芸高田市、宇部市、山口市、岩国市、山陽小野田市、徳島市、小松島市、高松市、丸亀市、坂出市、松山市、高知市、土佐清水市、北九州市、福岡市、直方市、飯塚市、田川市、行橋市、豊前市、小郡市、春日市、大野城市、多久市、武雄市、長崎市、水俣市、山鹿市、宇土市、大分市、中津市、由布市、宮崎市、都城市、日向市、串間市、西都市、鹿児島市、阿久根市、西之表市、那覇市、石垣市

④上下対称（左右対称ではない）6市
（新潟県以降）：鈴鹿市、熊本市

⑦色違い
さぬき市もですね

左右対称で吉川市、上下対称で湯沢市やかすみがうら市を漏らしていた節穴なので、抜け漏れがない自信はありません…
正直誰かに答え合わせしてほしいです（笑）
左右対称でない上下対称は新潟県以降、鈴鹿市と熊本市しかないのはホント？

[103838]の続き。さて、回転対称という言葉ですが、私も今回の出題で初めて知った用語です（忘れているだけかもしれませんが）。以下の説明はwikiの受け売りになりますが、図形（ここでは2次元に限定）の中心で（360÷ｎ）度回転すると元の図形に重なる場合、ｎ回対称と言います。2回対称は180度回転しますので点対称と等価です。3回対称は120度回転すると重なる図形になります。ｎ>= 2 のn回対称の総称が回転対称になります。ｎが偶数の場合、例えば6回対称の場合だと、60度回転すると重なりますが、同様に、120度、180度回転させても重なりますので、6＝2ｘ3 と因数分解できるように、6回対称は2回対称（＝点対称）、3回対称でもあります。

したがって、[103805] BEANさん
奇数では駄目なのか……。
ｎが奇数では2回対称（＝点対称）にならないということでした。

では、ｎ回対称の市章をピックアップしましょう（最も大きいｎで分類）。

⑧3回対称（一部のみ：全市未調査）
三沢市, 水戸市（一見、6回対称に見間違える）, 龍ヶ崎市, 所沢市, 飯能市, 三郷市, 京都市, 堺市 など
（都道府県）佐賀県, 宮崎県

⑨4回対称（点対称の一部：全市調査）
岩見沢市, 弘前市, 盛岡市, 花巻市, 秋田市, 米沢市, 行田市, 銚子市, 飯田市, 塩尻市, 岐阜市, 下田市, 豊中市, 米子市, 島原市, 日南市（県）島根県

⑩5回対称（一部のみ：全市未調査）
旭川市, 釧路市, 日光市, 佐倉市, 国立市, 桜井市, 太宰府市 など
（都道府県）福岡県

⑪6回対称（点対称の一部：全市調査）
稚内市, 須坂市, 藤枝市, 対馬市
（都道府県）東京都, 京都府

⑫7回対称（一部のみ：全市未調査）
青森市
（都道府県）北海道（村）姫島村

⑬8回対称（市はなし）
（都道府県）埼玉県

⑭9回対称
×福島市, ×久留米市（どちらも外側のみ）

⑮10回対称（点対称の一部：全市調査）
伊東市

⑯12回対称
×向日市（惜しくも該当せず）

⑰18回対称
×吹田市（外側のみ）

⑱R回対称（実数は全て該当）
前橋市, 大洲市

[103850] Ｎさん、ふぉろ〜をありがとうございます。まだまだ追及ネタがありそうです。

[103854]グリグリさん
回転対称も全市調べたのでフォローしておきましょう。

⑧3回対称
草加市、柏崎市、見附市、尾張旭市、福知山市、八尾市、箕面市、松江市、新見市、竹原市、丸亀市、福岡市、中津市、津久見市、都城市、豊見城市
＜色違い＞
仙北市、能美市

⑩5回対称
江別市、小田原市、大垣市、裾野市、岩国市、長崎市

⑫7回対称
青森市のみです

絶対どこか間違っていると思うので、ご指摘ください（汗