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| [87463] 2015年 4月 12日（日）15:16:44【6】 | YT さん |
| 戦前の国勢調査時の面積の記載について：大正9年、大正14年国勢調査時の面積の数字に関する重大な問題点 | |
以前、戦前の国勢調査報告書における市区町村別面積について[84575]でまとめましたが、一部修正して改めて掲載します。
以上のほか、大正9年～昭和22年の各都道府県の郡部合計、市部合計の面積は、『昭和25年国勢調査報告 第7巻 都道府県編』や、それ以降の国勢調査報告書の府県の部などに、小数点以下第二位までkm2単位で記載されています。
[84575]で、
大正9年の国勢調査報告には、庁府県別の面積しかありません。
と書いてしまいましたが、その後、大正9年の国勢調査報告書の『府県の部』を手に取ってみましたところ、市郡別面積が方里単位でまとまっていたことに気付きました。しかしながら府県によっては、小数点以下第一位だったり、小数点以下第三位だったりと一定ではありませし、一部の府県では面積の記述が欠落しています。さらに『記述編』記載の都道府県別面積(方里)と、『府県の部』記載の面積(方里)が一致しない府県が多々存在するという問題が見受けられます。
その後、国立公文書館に『大正九年十月現在 日本全国道府県郡市別面積 参謀本部調査』という資料があることを知り、喜んで閲覧しました。これにより大正9年国勢調査時の全国の郡市別面積(ただし北海道は支庁別)データが小数点以下第三位で揃いました。しかしながら困ったことに、国立公文書館所蔵『参謀本部調査』、『府県の部』、『記述編』の三点の面積が全部異なる府県が存在することも明らかになりました。
更に『昭和25年国勢調査報告 第7巻 都道府県編』記載の都道府県別面積は、『記述編』記載の都道府県別面積とほぼ一致しますが、郡部合計・市部合計の面積は国立公文書館所蔵『参謀本部調査』、『府県の部』とも異なり、国勢調査とその関連文献だけで3種類の異なるデータ(内、郡市別面積の詳細が記載されているのが2種類、合計だけ記載されているのが1種類)が存在することが明らかとなりました。
このほか、戦前の人口問題研究会がまとめた『日本人口密度図』(1934年)という本に大正9年、14年、昭和5年の郡市別面積がまとまっていますが、こちらは昭和5年の面積を大正9年、大正14年に遡及させて計算しており、大正9年、大正14年に関しては全く別系統の面積の数字となっております。
さらに石橋五郎監修, 小野鐵二編纂『大正九年十月一日現在 大日本郡市別人口密度表 近畿地方町村別人口密度表』(1924年)という本があり、地方統計書や地図からの独自計算により、陸軍参謀本部公式の数字を訂正したりしているのですが、これも完全に別系統の面積の数字ということになります。
以上、大正9年の郡市別面積の資料別のデータ記載状況をまとめると：
大正14年の面積でも同様の問題があり、まず同じ国勢調査でも、『全国結果表』と『記述編』では数字が異なり、『全国結果表』記載の面積に1方里＝(216/55)^2 方粁(km2)≒ 15.4234711 km2として変換しても、『記述編』の面積と一致しません。これについてこちらの『記述編』の説明によると
内地ノ面積ハ河川及湖沼ヲ含ム總面積ニシテ陸地測量部ノ調査ニ係ルモノナリ。而シテ此ノ面積ハ最新ノ改調又ハ修正測図ニ依リタルヲ以テ既ニ公表ノ第二巻全国結果表ニ掲ゲタルモノト必ズシモ符合セズ。
とあり、『全国結果表』の面積は速報値ということなります。
なお国立公文書館所蔵『大正十四年国勢調査(速報) 大正十四年現在ノ帝国面積 人口課』記載の郡市別面積は、完全に『全国結果表』記載の郡市別面積と一致しました。一方で『昭和25年国勢調査報告 第7巻 都道府県編』記載の都道府県別面積は、『記述編』記載の都道府県別面積とほぼ一致するものの、郡部合計・市部合計の面積(それぞれ2,181.50km2, 379,628.57 km2；沖縄県の面積は昭和50年以降の国勢調査報告書記載の数字で加算)は『記述編』(それぞれ 2,181.264 km2, 379,628.798 km2)と若干異なります。もっともその違いは0.23 km2～0.24 km2とごく僅かで、一府県の修正が入った程度ということになります。このことから大正14年の郡市別面積は、郡市別の詳細な数字の残っている1種類と、合計値だけ判明している修正された1種類の、合計2種類の系統があることになります。
これとは別に石橋五郎監修, 小野鐵二編纂『大正九年十月一日現在 大日本郡市別人口密度表 近畿地方町村別人口密度表』にも大正14年の郡市別面積の記載がありますが、数字が異なります。
以上、大正14年の郡市別面積の資料別のデータ記載状況をまとめると：
さらに今や近代デジタルライブラリーで種々の地方統計書の閲覧が可能ですが、これらの数字が異なる郡市別面積について、地方統計書で数字を補正しようと試みました。しかしながら残念なことに地方統計書は府県によって数字に統一がなく、場合によっては税金の対象となる土地総段別の面積のみしか情報がないところが多いようです。地方統計書に関しては、府県によっては参考になる場合があるものの、上の表から除外しました。
というわけで、大正9年、大正14年の国勢調査時の面積については、郡市別面積ですらまともに公式のデータ、すなわち陸軍参謀本部陸地測量部が公表したとされる面積すら揃えることができないという状況です。
【少数→小数に修正】【大正14年の国勢調査の『記述編』・『全国結果表』の説明が反転していたので大幅修正し、大正9年、大正14年の国勢調査時の面積について資料系統の説明を一部修正】
| 報告書 | 都道庁府県別面積 | 支庁・郡市別面積 | 市区町村別面積 | 記載の桁数 | 原資料 |
| 大正9年国勢調査 | ○【km2・方里】 | × | × | 小数点以下第三位 | 『大正九年 国勢調査記述編』 |
| ○【方里】 | × | × | 小数点以下第三位 | 『大正九年 国勢調査報告 全国の部 第一巻』 | |
| △【方里】 | △【方里】 | × | 小数点以下第一位～第三桁 | 『大正九年 国勢調査報告 府県の部』 | |
| ○【方里】 | ○【方里】 | × | 小数点以下第三位 | 国立公文書館所蔵『大正九年十月現在 日本全国道府県郡市別面積 参謀本部調査』 | |
| 大正14年国勢調査 | ○【km2】 | × | × | 小数点以下第三位 | 『大正十四年 国勢調査報告 第一巻 記述編』 |
| ○【方里】 | ○【方里】 | × | 小数点以下第三位 | 『大正十四年国勢調査報告 第二巻 全国結果表』 | |
| ○【方里】 | ○【方里】 | × | 小数点以下第三位 | 国立公文書館所蔵『大正十四年国勢調査(速報) 大正十四年現在ノ帝国面積 人口課』 | |
| 昭和5年国勢調査 | ○【km2】 | ○【km2】 | × | 小数点以下第三位 | 『昭和五年 国勢調査報告 第一巻』 |
| 昭和10年国勢調査 | ○【km2】 | ○【km2】 | × | 小数点以下第二位 | 『昭和十年 国勢調査報告 第一巻 全国編』 |
| 昭和15年国勢調査 | × | × | × | なし | |
| 昭和19年人口調査 | × | × | × | なし | |
| 昭和20年人口調査 | × | × | × | なし | |
| 昭和21年人口調査 | × | × | × | なし | |
| 昭和22年臨時国勢調査 | × | × | × | なし | |
| 昭和25年国勢調査 | ○【km2】 | ○【km2】 | ○【km2】 | 小数点以下第二位 | 『昭和25年国勢調査報告 第7巻 都道府県編』 |
| 昭和30年国勢調査報告 | ○【km2】 | ○【km2】 | ○【km2】 | 小数点以下第二位 | 『昭和30年国勢調査報告 全国都道府県郡市区町村別面積改定表』 ほか |
以上のほか、大正9年～昭和22年の各都道府県の郡部合計、市部合計の面積は、『昭和25年国勢調査報告 第7巻 都道府県編』や、それ以降の国勢調査報告書の府県の部などに、小数点以下第二位までkm2単位で記載されています。
[84575]で、
大正9年の国勢調査報告には、庁府県別の面積しかありません。
と書いてしまいましたが、その後、大正9年の国勢調査報告書の『府県の部』を手に取ってみましたところ、市郡別面積が方里単位でまとまっていたことに気付きました。しかしながら府県によっては、小数点以下第一位だったり、小数点以下第三位だったりと一定ではありませし、一部の府県では面積の記述が欠落しています。さらに『記述編』記載の都道府県別面積(方里)と、『府県の部』記載の面積(方里)が一致しない府県が多々存在するという問題が見受けられます。
その後、国立公文書館に『大正九年十月現在 日本全国道府県郡市別面積 参謀本部調査』という資料があることを知り、喜んで閲覧しました。これにより大正9年国勢調査時の全国の郡市別面積(ただし北海道は支庁別)データが小数点以下第三位で揃いました。しかしながら困ったことに、国立公文書館所蔵『参謀本部調査』、『府県の部』、『記述編』の三点の面積が全部異なる府県が存在することも明らかになりました。
更に『昭和25年国勢調査報告 第7巻 都道府県編』記載の都道府県別面積は、『記述編』記載の都道府県別面積とほぼ一致しますが、郡部合計・市部合計の面積は国立公文書館所蔵『参謀本部調査』、『府県の部』とも異なり、国勢調査とその関連文献だけで3種類の異なるデータ(内、郡市別面積の詳細が記載されているのが2種類、合計だけ記載されているのが1種類)が存在することが明らかとなりました。
このほか、戦前の人口問題研究会がまとめた『日本人口密度図』(1934年)という本に大正9年、14年、昭和5年の郡市別面積がまとまっていますが、こちらは昭和5年の面積を大正9年、大正14年に遡及させて計算しており、大正9年、大正14年に関しては全く別系統の面積の数字となっております。
さらに石橋五郎監修, 小野鐵二編纂『大正九年十月一日現在 大日本郡市別人口密度表 近畿地方町村別人口密度表』(1924年)という本があり、地方統計書や地図からの独自計算により、陸軍参謀本部公式の数字を訂正したりしているのですが、これも完全に別系統の面積の数字ということになります。
以上、大正9年の郡市別面積の資料別のデータ記載状況をまとめると：
| 資料 | 郡部・市部合計値 | 郡市別面積 | 備考 |
| 『大正九年十月現在 日本全国道府県郡市別面積 参謀本部調査』 | 小数点以下第三位(方里) | 小数点以下第三位(方里) | 系統1a (速報値？) |
| 『大正九年 国勢調査報告 府県の部』 | 不完全 | 不完全 | 系統1a' (上の速報値を極一部修正したもので、こちらの方が速報値の可能性あり) |
| 『昭和25年国勢調査報告 第7巻 都道府県編』 | 小数点以下第二位(km2) | なし | 系統1b' (各都道府県別の郡部・市部合計値の記載のみ；上の速報値を大幅に修正したもの) |
| 『日本人口密度図』 | 小数点以下第二位(km2) | 小数点以下第二位(km2) | 系統2 (昭和5年からの遡及データ) |
| 『大正九年十月一日現在 大日本郡市別人口密度表 近畿地方町村別人口密度表』 | 小数点以下第二位(km2) | 小数点以下第二位(km2) | 系統3 (独自集計) |
大正14年の面積でも同様の問題があり、まず同じ国勢調査でも、『全国結果表』と『記述編』では数字が異なり、『全国結果表』記載の面積に1方里＝(216/55)^2 方粁(km2)≒ 15.4234711 km2として変換しても、『記述編』の面積と一致しません。これについてこちらの『記述編』の説明によると
内地ノ面積ハ河川及湖沼ヲ含ム總面積ニシテ陸地測量部ノ調査ニ係ルモノナリ。而シテ此ノ面積ハ最新ノ改調又ハ修正測図ニ依リタルヲ以テ既ニ公表ノ第二巻全国結果表ニ掲ゲタルモノト必ズシモ符合セズ。
とあり、『全国結果表』の面積は速報値ということなります。
なお国立公文書館所蔵『大正十四年国勢調査(速報) 大正十四年現在ノ帝国面積 人口課』記載の郡市別面積は、完全に『全国結果表』記載の郡市別面積と一致しました。一方で『昭和25年国勢調査報告 第7巻 都道府県編』記載の都道府県別面積は、『記述編』記載の都道府県別面積とほぼ一致するものの、郡部合計・市部合計の面積(それぞれ2,181.50km2, 379,628.57 km2；沖縄県の面積は昭和50年以降の国勢調査報告書記載の数字で加算)は『記述編』(それぞれ 2,181.264 km2, 379,628.798 km2)と若干異なります。もっともその違いは0.23 km2～0.24 km2とごく僅かで、一府県の修正が入った程度ということになります。このことから大正14年の郡市別面積は、郡市別の詳細な数字の残っている1種類と、合計値だけ判明している修正された1種類の、合計2種類の系統があることになります。
これとは別に石橋五郎監修, 小野鐵二編纂『大正九年十月一日現在 大日本郡市別人口密度表 近畿地方町村別人口密度表』にも大正14年の郡市別面積の記載がありますが、数字が異なります。
以上、大正14年の郡市別面積の資料別のデータ記載状況をまとめると：
| 資料 | 郡部・市部合計値 | 郡市別面積 | 備考 |
| 『大正十四年国勢調査報告 第二巻 全国結果表』 | 小数点以下第三位(方里) | 小数点以下第三位(方里) | 系統1a (速報値) |
| 『大正十四年国勢調査(速報) 大正十四年現在ノ帝国面積 人口課』 | 小数点以下第三位(方里) | 小数点以下第三位(方里) | 系統1a (上に同じ) |
| 『大正十四年 国勢調査報告 第一巻 記述編』 | 小数点以下第二位(km2) | なし | 系統1b(上の速報値を修正したものだが、全国の郡部・市部面積合計値のみ記載) |
| 『昭和25年国勢調査報告 第7巻 都道府県編』 | 小数点以下第二位(km2) | なし | 系統1b' (各都道府県別の郡部・市部合計値の記載のみ；『記述編』記載の全国合計との差は微細) |
| 『日本人口密度図』 | 小数点以下第二位(km2) | 小数点以下第二位(km2) | 系統2 (昭和5年からの遡及データ) |
さらに今や近代デジタルライブラリーで種々の地方統計書の閲覧が可能ですが、これらの数字が異なる郡市別面積について、地方統計書で数字を補正しようと試みました。しかしながら残念なことに地方統計書は府県によって数字に統一がなく、場合によっては税金の対象となる土地総段別の面積のみしか情報がないところが多いようです。地方統計書に関しては、府県によっては参考になる場合があるものの、上の表から除外しました。
というわけで、大正9年、大正14年の国勢調査時の面積については、郡市別面積ですらまともに公式のデータ、すなわち陸軍参謀本部陸地測量部が公表したとされる面積すら揃えることができないという状況です。
【少数→小数に修正】【大正14年の国勢調査の『記述編』・『全国結果表』の説明が反転していたので大幅修正し、大正9年、大正14年の国勢調査時の面積について資料系統の説明を一部修正】
| [87449] 2015年 4月 3日（金）18:47:54【1】 | YT さん |
| 正規分布とのズレについて | |
[87448] オーナー グリグリさん
都道府県別の面積の丸め誤差をまとめて頂きありがとうございます。
以上の結果によると、全国の合計値の誤差（n=1921）が、0.25km2 となっていますが、[87439]における誤差（n=2000）の平均値 0.10km2 から大きく外れています。どこかに落とし穴があるのでしょうかねぇ。
|m| = a√{n/(6π)} = 0.1009... ≒ 0.10 km2 (n = 1921, a = 0.01)
は、蓄積された丸め誤差の平均(期待値)の絶対値です。蓄積された丸め誤差の標準偏差自体は
σ = a√(n/12) = 0.1265... ≒ 0.13 km2 (n = 1921, a = 0.01)
です。連続一様分布(アーウィン・ホール分布)に関しては、英語版のwikipediaに分かりやすい図と式がありました。図を見ればわかるように、n ～ 8ぐらいで十分正規分布近似が可能となります。また説明にはvariance (分散, σ^2) = n/12 とありますが、この場合0から1までの連続一様分布を足した場合の分散であり、0～1とは限らない範囲0 ～ a(n回足せば、0 ～ naの範囲となる)であれば、分散σ^2 = a^2*n/12となり、標準偏差σは分散σ^2の平方根となるσ = a√(n/12)と表現されることになります。
全国の市区町村等別面積の合計と全国の面積との差である+0.25 km2は、一応±2σの範囲に収まり(正確には+0.245～+0.255の範囲を考慮すると、1.936σ～2.015σとなりますが)、受験でおなじみの偏差値であらわすのなら、偏差値69.8に相当する(正確には偏差値69.36～70.15の範囲)ので、多少丸め誤差の蓄積が予想よりも多めですが、一応許容範囲ではあると思われます。
[87439]のモデル表で言えば、丸め誤差が全く生じない確率(±0.005以下)は3%に過ぎない。
しかしながら生じる丸め誤差で一番確率が高いのは、±0.01 km2で、約6%の確率。
±0.10 km2の誤差が生じる確率は約5%程度だが、±0.10 km2以内に誤差が収まる確率は58%。±0.10 km2よりも誤差が大きくなる可能性は42%。
±0.25 km2の誤差が生じる確率はわずか1%だが、±0.25km2よりも誤差が大きく出る確率も、まだ5%あるという感じです。
都道府県別の[87448]のデータを使って、それぞれの実際の丸め誤差を、標本数から予測される標準偏差で割り、ズレを計算してみると：
2σから3σまでずれる県が7県と、若干多いようです。ただし±3σ以上ずれている県はありません。具体的には以下の7県です。
こうやって並べてみると、確かに群馬県の誤差は大きいと言えます。また二番目の富山県などは、市町村数がたった15なのに、+0.03 km2も誤差が出ています。これらはありえないほど大きい誤差が出ていると言うほどではないが、やはり何かしら恣意的な原因もあるという可能性も否定できませんし、これだけのデータだけでは何とも言えません。あるいは四捨五入の際に、切り捨てというプロセスが混入してしまっている可能性もあるかもしれません。
群馬県・埼玉県については、[87423]でhmt さんが、m2単位のデータがあったことを指摘されていますが、もしかしたら具体的にどの辺が四捨五入の処理で問題になっているのか、あるいは単なる偶然なのか指摘できるかもしれません。
【±3σ以上の正規分布における割合を0.3%に修正、その他文章の一部を修正】
都道府県別の面積の丸め誤差をまとめて頂きありがとうございます。
以上の結果によると、全国の合計値の誤差（n=1921）が、0.25km2 となっていますが、[87439]における誤差（n=2000）の平均値 0.10km2 から大きく外れています。どこかに落とし穴があるのでしょうかねぇ。
|m| = a√{n/(6π)} = 0.1009... ≒ 0.10 km2 (n = 1921, a = 0.01)
は、蓄積された丸め誤差の平均(期待値)の絶対値です。蓄積された丸め誤差の標準偏差自体は
σ = a√(n/12) = 0.1265... ≒ 0.13 km2 (n = 1921, a = 0.01)
です。連続一様分布(アーウィン・ホール分布)に関しては、英語版のwikipediaに分かりやすい図と式がありました。図を見ればわかるように、n ～ 8ぐらいで十分正規分布近似が可能となります。また説明にはvariance (分散, σ^2) = n/12 とありますが、この場合0から1までの連続一様分布を足した場合の分散であり、0～1とは限らない範囲0 ～ a(n回足せば、0 ～ naの範囲となる)であれば、分散σ^2 = a^2*n/12となり、標準偏差σは分散σ^2の平方根となるσ = a√(n/12)と表現されることになります。
全国の市区町村等別面積の合計と全国の面積との差である+0.25 km2は、一応±2σの範囲に収まり(正確には+0.245～+0.255の範囲を考慮すると、1.936σ～2.015σとなりますが)、受験でおなじみの偏差値であらわすのなら、偏差値69.8に相当する(正確には偏差値69.36～70.15の範囲)ので、多少丸め誤差の蓄積が予想よりも多めですが、一応許容範囲ではあると思われます。
[87439]のモデル表で言えば、丸め誤差が全く生じない確率(±0.005以下)は3%に過ぎない。
しかしながら生じる丸め誤差で一番確率が高いのは、±0.01 km2で、約6%の確率。
±0.10 km2の誤差が生じる確率は約5%程度だが、±0.10 km2以内に誤差が収まる確率は58%。±0.10 km2よりも誤差が大きくなる可能性は42%。
±0.25 km2の誤差が生じる確率はわずか1%だが、±0.25km2よりも誤差が大きく出る確率も、まだ5%あるという感じです。
都道府県別の[87448]のデータを使って、それぞれの実際の丸め誤差を、標本数から予測される標準偏差で割り、ズレを計算してみると：
| ズレ | 都道府数 | 割合(%) | 正規分布から期待される割合(%) |
| ±3σ以上 | 0 | 0.0 | 0.3 |
| ±2～3σ | 7 | 14.9 | 4.3 |
| ±1～2σ | 11 | 23.4 | 27.2 |
| ±1σ以内 | 29 | 61.7 | 68.3 |
2σから3σまでずれる県が7県と、若干多いようです。ただし±3σ以上ずれている県はありません。具体的には以下の7県です。
| 都道府県 | 誤差m, km2 | 標本数n | 予測される標準偏差σ, km2 | ズレ |
| 群馬県 | +0.05 | 35 | 0.0171 | +2.93σ |
| 富山県 | +0.03 | 15 | 0.0112 | +2.68σ |
| 佐賀県 | +0.03 | 20 | 0.0129 | +2.32σ |
| 新潟県 | -0.04 | 37 | 0.0176 | -2.28σ |
| 沖縄県 | +0.04 | 42 | 0.0187 | +2.14σ |
| 鹿児島県 | -0.04 | 45 | 0.0194 | -2.07σ |
| 埼玉県 | +0.05 | 72 | 0.0245 | +2.04σ |
こうやって並べてみると、確かに群馬県の誤差は大きいと言えます。また二番目の富山県などは、市町村数がたった15なのに、+0.03 km2も誤差が出ています。これらはありえないほど大きい誤差が出ていると言うほどではないが、やはり何かしら恣意的な原因もあるという可能性も否定できませんし、これだけのデータだけでは何とも言えません。あるいは四捨五入の際に、切り捨てというプロセスが混入してしまっている可能性もあるかもしれません。
群馬県・埼玉県については、[87423]でhmt さんが、m2単位のデータがあったことを指摘されていますが、もしかしたら具体的にどの辺が四捨五入の処理で問題になっているのか、あるいは単なる偶然なのか指摘できるかもしれません。
【±3σ以上の正規分布における割合を0.3%に修正、その他文章の一部を修正】
| [87439] 2015年 3月 31日（火）23:39:06【4】 | YT さん |
| 四捨五入に伴う面積の合計の丸め誤差についての統計学的考察 | |
最近面積の改訂の話題が出ているので、久々に投稿します。
本来であれば面積は連続値であり、四捨五入に伴う丸め誤差が蓄積される結果、個々の自治体の面積の合計と国土の面積はズレて当たり前です。しかしながら2013年以前の国勢調査記載の面積の数字や陸軍参謀本部の調査による面積の数字においては、そのような丸め誤差が全くなく、市区町村別の面積の合計と、市郡別、都道府県別、国土の面積が完全に一致します (合衆国統治の琉球・沖縄の面積や1945年・1947年の面積などは、公式の数字で色々ズレがあるのですが、まあこれは除外して考えます)。平成26年の面積の改訂により、むしろ正しい面積の表記になったわけですが、チェックがし辛いという別の問題も出たわけですね。
面積の合計に伴う丸め誤差について、以前自分も[85659]で大雑把に見積もりましたが、
小数点以下第3位で四捨五入しているとすると、本当の面積のデータは±0.005 km2の範囲に存在し、四捨五入後の値との誤差の絶対値の平均は0.0025 km2となります。
ここの部分でズボラな結論で誤差を見積もったのですが、数学的な誤りがありました。そこで改めて四捨五入に伴う面積の合計の丸め誤差について見積もり直してみました。一応高校卒業レベルの微積・確率統計の知識で理解できる内容だと思います。
今、平均値m = 0で、±a/2の間に収まる連続一様分布を仮定します。∫f1(x)dx = 1になるように確率密度関数f1(x)を規格化すると、
|x| ≦ a/2: f1(x) = 1/a
|x| ＞ a/2: f1(x) = 0 ...(1)
と表現できます。確率密度関数f1(x)の分散(σ1)^2は、[85659]で示したように(a/4)^2では誤りであり、ちゃんと積分により計算すると、
(σ1)^2 = ∫(x - m)^2*f1(x)dx (但し -∞ ＜ x ＜ +∞)
= 1/a ∫x^2dx (式(1)を代入, 但し -a/2 ≦ x ≦ a/2)
= a^2/12 ...(2)
さて、f1(x)同士を2つ足し合わせた時の確率密度関数f2(x)は、
|x| ≦ a: f2(x) = (a - |x|)/a^2
|x| ＞ a: f2(x) = 0 ...(3)
分散(σ2)^2は
(σ2)^2 = ∫(x - m)^2*f2(x)dx (但し -∞ ＜x ＜ +∞)
= 2/a^2 ∫ -x^3 + ax^2 dx (式(3)を代入, 但し 0 ≦ x ≦ a)
= a^2/6 (= 2*(σ1)^2) ...(4)
さらに3個、4個、…n個と、この確率密度関数を足し合わせていくと、確率密度関数fn(x)は、パスカルの三角形の組み合わせで継ぎ合わさったような、カクカクの複雑な多次多項式となります(アーウィン＝ホール Irwin-Hall 分布)。ただしnが十分大きければ、確率密度関数は正規分布に近似できます。ここで分散(σn)^2は、個々の分散(σ1)^2の和なので、
(σn)^2 = n*a^2/12 ...(5)
となるはずです。実際n = 2の時も成立することを、式(4)で確認しました。
2013年以前の市町村別面積も小数第三位で四捨五入されており、±0.005 km2の誤差を含むはずです。よってn = 約2000の市区町村等の面積の合計であれば、a = 0.01 km2なので、(5)式に代入することにより、真の面積との間の丸め誤差の標準偏差は
σn = √(2000 × 0.01^2/12) ≒ 0.12909944 (km2)
になり、また丸め誤差の誤差分布も、σ ≒ 0.129 km2の正規分布に近似できることになるはずです。2000の自治体を合計した結果、小数点以下第2位まで一致する確率、すなわち± 0.005 km2の間に面積が入る確率は、標準正規分布のZ ≒ ±0.038729833 (≒ 0.005/0.12909944)の間に入る確率です。この範囲に入る割合は、エクセルのNORM関数を使って計算すると約3.0894%と求められます。つまり、2010年頃の約2000の市町村別等の面積の合計が、日本全国の面積の合計に一致する確率はわずか3%程度で、本当に面積が純粋な四捨五入だけで求めているのであれば「ありえない」確率ということになります。
また実数からどの程度ずれが生じてしまうかですが、平均が0、標準偏差がσとなるような正規分布の確率密度関数f(x)は、次のように表現できます。
f(x) = 1/√(2πσ^2) * exp {-x^2/(2σ^2)}...(6)
よってズレの平均値mは 0 ≦ x ＜ +∞ の範囲のみを考えると、
m+ = ∫xf(x)dx (但し 0 ≦ x ＜ +∞)
= 1/√(2πσ^2) ∫ x exp {-x^2/(2σ^2)} dx (式(6)を代入) ...(7)
ここでt = x^2/(2σ^2), x dx = σ^2 dt ...(8)と置いて(7)式に代入すると
m+ = σ/√(2π) ∫exp(-t) dt
= σ/√(2π)[exp{-x^2/(2σ^2)}] (但し 0 ≦ x ＜ +∞)
= σ/√(2π) ... (9)
同じように負側の平均を積分で求めると、m- = -σ/√(2π) となり、合計m = m+ + m- = 0で平均はゼロになってしまいます。元々平均がゼロになる確率密度関数を選んでますので当たり前のことです。しかしながら、我々にとって正にズレようが負にズレようが、ズレていることには変わりなく、重要なのはズレxの絶対値の平均|m| = |m+| + |m-|です。よって
|m| = |m+| + |m-| = σ√(2/π) ...(10)
ここでσ = σn とすると、式(5)より
|m| = a √{n/(6π)} ...(11)
n = 2000, a = 0.01とすると、
|m| ≒ 0.10300645
というわけで、2000の自治体の面積の合計した際に生じる丸め誤差の平均を見積もっても、せいぜい±0.10 km2程度という結論がでます。
エクセルのNORM関数を使って、もう少し詳しくモデル計算(n = 2000)をしますと以下の通りです。
ズレが±0.00の割合と±0.01の割合では後者の方が倍近くになりますが、これは四捨五入して±0.01になる範囲が四捨五入して±0.00になる範囲の倍存在するからで、ここから値が大きくなるほど割合自体は減ります。50%の確率でズレは約±0.6745σ ≒ ±0.087 km2の間に入り、標準偏差 ±1σ ≒ ±0.129 km2の範囲に収まる確率は約68.27%となりますが、ズレの値にそれぞれの予想される割合を乗じて合計することで求まる、ズレの絶対値の平均はσ√(2/π) ≒ 0.7979σ ≒ 0.103 km2に収束します。
このようにちゃんと計算すると、モデル(小数点以下第三位で四捨五入し、2000個合計した場合)における丸め誤差の標準偏差σ = a√(n/12)≒ 0.13 km2 と、絶対値のみを考慮した場合の丸め誤差の平均値|m| = σ√(2/π) ≒ 0.10 km2 は一致しません。まあ[85659]で見積もった
2000前後の自治体でこの誤差を合算すると、二項分布を考えれば全国の面積合計で√2000 × 0.0025 ≒ 0.11 km2程度の丸め誤差は出て当たり前のはずですが、
の数字ともそんなに違わない値となりましたが、より正しい議論をすると以上のようになります。
以上をまとめると、小数点以下第三位で四捨五入した面積を約2000ほど足した場合、真の値との間に0.01 km2の誤差すら生じない確率はほとんどありえない(約3%程度)が、実際のズレは平均すると±0.10 km2程度ということになります。市区町村とその他未確定地域が合計約1万2000あった昭和10年の国勢調査であれば、丸め誤差の絶対値は平均0.25 km2にまで拡大します。1950年から2010年までの国勢調査報告書に記載の面積においては、総ての市区町村と未確定地域の面積の合計が全国・都道府県・郡市別面積と小数点以下第二位まで完全に一致しており、いささかの丸め誤差も存在しません。つまり2013年以前の面積調では、合計が一致するように端数を適当に処理し、実数とは異なる面積を公表していたことになります。
【追加修正：表に色々数字を追記し、説明文を修正】
本来であれば面積は連続値であり、四捨五入に伴う丸め誤差が蓄積される結果、個々の自治体の面積の合計と国土の面積はズレて当たり前です。しかしながら2013年以前の国勢調査記載の面積の数字や陸軍参謀本部の調査による面積の数字においては、そのような丸め誤差が全くなく、市区町村別の面積の合計と、市郡別、都道府県別、国土の面積が完全に一致します (合衆国統治の琉球・沖縄の面積や1945年・1947年の面積などは、公式の数字で色々ズレがあるのですが、まあこれは除外して考えます)。平成26年の面積の改訂により、むしろ正しい面積の表記になったわけですが、チェックがし辛いという別の問題も出たわけですね。
面積の合計に伴う丸め誤差について、以前自分も[85659]で大雑把に見積もりましたが、
小数点以下第3位で四捨五入しているとすると、本当の面積のデータは±0.005 km2の範囲に存在し、四捨五入後の値との誤差の絶対値の平均は0.0025 km2となります。
ここの部分でズボラな結論で誤差を見積もったのですが、数学的な誤りがありました。そこで改めて四捨五入に伴う面積の合計の丸め誤差について見積もり直してみました。一応高校卒業レベルの微積・確率統計の知識で理解できる内容だと思います。
今、平均値m = 0で、±a/2の間に収まる連続一様分布を仮定します。∫f1(x)dx = 1になるように確率密度関数f1(x)を規格化すると、
|x| ≦ a/2: f1(x) = 1/a
|x| ＞ a/2: f1(x) = 0 ...(1)
と表現できます。確率密度関数f1(x)の分散(σ1)^2は、[85659]で示したように(a/4)^2では誤りであり、ちゃんと積分により計算すると、
(σ1)^2 = ∫(x - m)^2*f1(x)dx (但し -∞ ＜ x ＜ +∞)
= 1/a ∫x^2dx (式(1)を代入, 但し -a/2 ≦ x ≦ a/2)
= a^2/12 ...(2)
さて、f1(x)同士を2つ足し合わせた時の確率密度関数f2(x)は、
|x| ≦ a: f2(x) = (a - |x|)/a^2
|x| ＞ a: f2(x) = 0 ...(3)
分散(σ2)^2は
(σ2)^2 = ∫(x - m)^2*f2(x)dx (但し -∞ ＜x ＜ +∞)
= 2/a^2 ∫ -x^3 + ax^2 dx (式(3)を代入, 但し 0 ≦ x ≦ a)
= a^2/6 (= 2*(σ1)^2) ...(4)
さらに3個、4個、…n個と、この確率密度関数を足し合わせていくと、確率密度関数fn(x)は、パスカルの三角形の組み合わせで継ぎ合わさったような、カクカクの複雑な多次多項式となります(アーウィン＝ホール Irwin-Hall 分布)。ただしnが十分大きければ、確率密度関数は正規分布に近似できます。ここで分散(σn)^2は、個々の分散(σ1)^2の和なので、
(σn)^2 = n*a^2/12 ...(5)
となるはずです。実際n = 2の時も成立することを、式(4)で確認しました。
2013年以前の市町村別面積も小数第三位で四捨五入されており、±0.005 km2の誤差を含むはずです。よってn = 約2000の市区町村等の面積の合計であれば、a = 0.01 km2なので、(5)式に代入することにより、真の面積との間の丸め誤差の標準偏差は
σn = √(2000 × 0.01^2/12) ≒ 0.12909944 (km2)
になり、また丸め誤差の誤差分布も、σ ≒ 0.129 km2の正規分布に近似できることになるはずです。2000の自治体を合計した結果、小数点以下第2位まで一致する確率、すなわち± 0.005 km2の間に面積が入る確率は、標準正規分布のZ ≒ ±0.038729833 (≒ 0.005/0.12909944)の間に入る確率です。この範囲に入る割合は、エクセルのNORM関数を使って計算すると約3.0894%と求められます。つまり、2010年頃の約2000の市町村別等の面積の合計が、日本全国の面積の合計に一致する確率はわずか3%程度で、本当に面積が純粋な四捨五入だけで求めているのであれば「ありえない」確率ということになります。
また実数からどの程度ずれが生じてしまうかですが、平均が0、標準偏差がσとなるような正規分布の確率密度関数f(x)は、次のように表現できます。
f(x) = 1/√(2πσ^2) * exp {-x^2/(2σ^2)}...(6)
よってズレの平均値mは 0 ≦ x ＜ +∞ の範囲のみを考えると、
m+ = ∫xf(x)dx (但し 0 ≦ x ＜ +∞)
= 1/√(2πσ^2) ∫ x exp {-x^2/(2σ^2)} dx (式(6)を代入) ...(7)
ここでt = x^2/(2σ^2), x dx = σ^2 dt ...(8)と置いて(7)式に代入すると
m+ = σ/√(2π) ∫exp(-t) dt
= σ/√(2π)[exp{-x^2/(2σ^2)}] (但し 0 ≦ x ＜ +∞)
= σ/√(2π) ... (9)
同じように負側の平均を積分で求めると、m- = -σ/√(2π) となり、合計m = m+ + m- = 0で平均はゼロになってしまいます。元々平均がゼロになる確率密度関数を選んでますので当たり前のことです。しかしながら、我々にとって正にズレようが負にズレようが、ズレていることには変わりなく、重要なのはズレxの絶対値の平均|m| = |m+| + |m-|です。よって
|m| = |m+| + |m-| = σ√(2/π) ...(10)
ここでσ = σn とすると、式(5)より
|m| = a √{n/(6π)} ...(11)
n = 2000, a = 0.01とすると、
|m| ≒ 0.10300645
というわけで、2000の自治体の面積の合計した際に生じる丸め誤差の平均を見積もっても、せいぜい±0.10 km2程度という結論がでます。
エクセルのNORM関数を使って、もう少し詳しくモデル計算(n = 2000)をしますと以下の通りです。
| 面積のズレ(km2) | 実数との差(km2) | 割合(%) | 割合の累積(%) | 標準偏差の累積σ | (面積のズレの絶対値)×(割合)の累積(km2) |
| ±0.00 | ±0.000～0.005 | 3.089 | 3.089 | 0.0387 | 0.00000 |
| ±0.01 | ±0.005～0.015 | 6.160 | 9.250 | 0.1162 | 0.00062 |
| ±0.02 | ±0.015～0.025 | 6.105 | 15.355 | 0.1936 | 0.00184 |
| ±0.03 | ±0.025～0.035 | 6.014 | 21.369 | 0.2711 | 0.00364 |
| ±0.04 | ±0.035～0.045 | 5.889 | 27.259 | 0.3486 | 0.00600 |
| ±0.05 | ±0.045～0.055 | 5.733 | 32.991 | 0.4260 | 0.00886 |
| ±0.06 | ±0.055～0.065 | 5.547 | 38.538 | 0.5035 | 0.01219 |
| ±0.07 | ±0.065～0.075 | 5.335 | 43.872 | 0.5809 | 0.01593 |
| ±0.08 | ±0.075～0.085 | 5.100 | 48.972 | 0.6584 | 0.02001 |
| ±0.09 | ±0.085～0.095 | 4.846 | 53.819 | 0.7359 | 0.02437 |
| ±0.10 | ±0.095～0.105 | 4.578 | 58.397 | 0.8133 | 0.02895 |
| ±0.11 | ±0.105～0.115 | 4.299 | 62.696 | 0.8908 | 0.03367 |
| ±0.12 | ±0.115～0.125 | 4.012 | 66.708 | 0.9682 | 0.03849 |
| ±0.13 | ±0.125～0.135 | 3.722 | 70.430 | 1.0457 | 0.04333 |
| ±0.14 | ±0.135～0.145 | 3.433 | 73.863 | 1.1232 | 0.04813 |
| ±0.15 | ±0.145～0.155 | 3.147 | 77.010 | 1.2006 | 0.05285 |
| ±0.16 | ±0.155～0.165 | 2.868 | 79.878 | 1.2781 | 0.05744 |
| ±0.17 | ±0.165～0.175 | 2.598 | 82.476 | 1.3555 | 0.06186 |
| ±0.18 | ±0.175～0.185 | 2.339 | 84.814 | 1.4330 | 0.06607 |
| ±0.19 | ±0.185～0.195 | 2.093 | 86.907 | 1.5105 | 0.07005 |
| ±0.20 | ±0.195～0.205 | 1.862 | 88.770 | 1.5879 | 0.07377 |
| ±0.21 | ±0.205～0.215 | 1.647 | 90.416 | 1.6654 | 0.07723 |
| ±0.22 | ±0.215～0.225 | 1.448 | 91.864 | 1.7428 | 0.08041 |
| ±0.23 | ±0.225～0.235 | 1.265 | 93.129 | 1.8203 | 0.08332 |
| ±0.24 | ±0.235～0.245 | 1.099 | 94.227 | 1.8978 | 0.08596 |
| ±0.25 | ±0.245～0.255 | 0.948 | 95.176 | 1.9752 | 0.08833 |
| ±0.26 | ±0.255～0.265 | 0.814 | 95.990 | 2.0527 | 0.09045 |
| ±0.27 | ±0.265～0.275 | 0.694 | 96.684 | 2.1301 | 0.09232 |
| ±0.28 | ±0.275～0.285 | 0.589 | 97.273 | 2.2076 | 0.09397 |
| ±0.29 | ±0.285～0.295 | 0.496 | 97.769 | 2.2851 | 0.09541 |
| ±0.30 | ±0.295～0.305 | 0.416 | 98.185 | 2.3625 | 0.09666 |
| ±0.31 | ±0.305～0.315 | 0.346 | 98.531 | 2.4400 | 0.09773 |
| ±0.32 | ±0.315～0.325 | 0.287 | 98.818 | 2.5174 | 0.09865 |
| ±0.33 | ±0.325～0.335 | 0.236 | 99.054 | 2.5949 | 0.09943 |
| ±0.34 | ±0.335～0.345 | 0.193 | 99.247 | 2.6724 | 0.10008 |
| ±0.35 | ±0.345～0.355 | 0.157 | 99.404 | 2.7498 | 0.10063 |
| ±0.36 | ±0.355～0.365 | 0.127 | 99.531 | 2.8273 | 0.10109 |
| ±0.37 | ±0.365～0.375 | 0.102 | 99.632 | 2.9047 | 0.10146 |
| ±0.38 | ±0.375～0.385 | 0.081 | 99.714 | 2.9822 | 0.10177 |
| ±0.39 | ±0.385～0.395 | 0.065 | 99.778 | 3.0597 | 0.10203 |
| ±0.40 | ±0.395～0.405 | 0.051 | 99.829 | 3.1371 | 0.10223 |
| ±0.41 | ±0.405～0.415 | 0.040 | 99.869 | 3.2146 | 0.10239 |
| ±0.42 | ±0.415～0.425 | 0.031 | 99.901 | 3.2920 | 0.10252 |
| ±0.43 | ±0.425～0.435 | 0.024 | 99.925 | 3.3695 | 0.10263 |
| ±0.44 | ±0.435～0.445 | 0.019 | 99.943 | 3.4470 | 0.10271 |
| ±0.45 | ±0.445～0.455 | 0.014 | 99.958 | 3.5244 | 0.10277 |
| ±0.46 | ±0.455～0.465 | 0.011 | 99.968 | 3.6019 | 0.10282 |
| ±0.47 | ±0.465～0.475 | 0.008 | 99.977 | 3.6793 | 0.10286 |
| ±0.48 | ±0.475～0.485 | 0.006 | 99.983 | 3.7568 | 0.10289 |
| ±0.49 | ±0.485～0.495 | 0.005 | 99.987 | 3.8343 | 0.10291 |
| ±0.50 | ±0.495～0.505 | 0.003 | 99.991 | 3.9117 | 0.10293 |
ズレが±0.00の割合と±0.01の割合では後者の方が倍近くになりますが、これは四捨五入して±0.01になる範囲が四捨五入して±0.00になる範囲の倍存在するからで、ここから値が大きくなるほど割合自体は減ります。50%の確率でズレは約±0.6745σ ≒ ±0.087 km2の間に入り、標準偏差 ±1σ ≒ ±0.129 km2の範囲に収まる確率は約68.27%となりますが、ズレの値にそれぞれの予想される割合を乗じて合計することで求まる、ズレの絶対値の平均はσ√(2/π) ≒ 0.7979σ ≒ 0.103 km2に収束します。
このようにちゃんと計算すると、モデル(小数点以下第三位で四捨五入し、2000個合計した場合)における丸め誤差の標準偏差σ = a√(n/12)≒ 0.13 km2 と、絶対値のみを考慮した場合の丸め誤差の平均値|m| = σ√(2/π) ≒ 0.10 km2 は一致しません。まあ[85659]で見積もった
2000前後の自治体でこの誤差を合算すると、二項分布を考えれば全国の面積合計で√2000 × 0.0025 ≒ 0.11 km2程度の丸め誤差は出て当たり前のはずですが、
の数字ともそんなに違わない値となりましたが、より正しい議論をすると以上のようになります。
以上をまとめると、小数点以下第三位で四捨五入した面積を約2000ほど足した場合、真の値との間に0.01 km2の誤差すら生じない確率はほとんどありえない(約3%程度)が、実際のズレは平均すると±0.10 km2程度ということになります。市区町村とその他未確定地域が合計約1万2000あった昭和10年の国勢調査であれば、丸め誤差の絶対値は平均0.25 km2にまで拡大します。1950年から2010年までの国勢調査報告書に記載の面積においては、総ての市区町村と未確定地域の面積の合計が全国・都道府県・郡市別面積と小数点以下第二位まで完全に一致しており、いささかの丸め誤差も存在しません。つまり2013年以前の面積調では、合計が一致するように端数を適当に処理し、実数とは異なる面積を公表していたことになります。
【追加修正：表に色々数字を追記し、説明文を修正】
| [86844] 2014年 12月 28日（日）23:22:42 | YT さん |
| メンバー紹介について | |
[86808] オーナーグリグルさん
[86815] かぱぷうさん
最近生活環境が大いに変わり、落書き帳に余り書き込めておりませんYTです。というか、プライベートの方で非常に目出度いことがあったのですが、その結果として深夜にネットを閲覧したり書き込んだりするようなことができなくなったのです。
というわけで、[86806]のじゃごたろさんの書き込みと同様、私のメンバー紹介のところの、
書き込みの時間は深夜帯が多く、
文章作成中に睡魔が襲ってこないかを心配する向きもあるが、
睡眠の誘惑に打ち勝っている模様。
という部分が事実とは異なる状況になりつつあるので(まあ、数字や長文、歴史系の話題が多い傾向は続くでしょうが)、できれば深夜の書き込み云々の部分は適当にカットして頂くようお願いします。再び深夜に書き込むようになっていたら、それはプライベートが元に戻った時でしょう…
というわけで、オーナーグリグリ様、今後は書き込み頻度や情報の更新速度が相当遅くなるかと思いますが、今後ともよろしくお願いします。
[86815] かぱぷうさん
最近生活環境が大いに変わり、落書き帳に余り書き込めておりませんYTです。というか、プライベートの方で非常に目出度いことがあったのですが、その結果として深夜にネットを閲覧したり書き込んだりするようなことができなくなったのです。
というわけで、[86806]のじゃごたろさんの書き込みと同様、私のメンバー紹介のところの、
書き込みの時間は深夜帯が多く、
文章作成中に睡魔が襲ってこないかを心配する向きもあるが、
睡眠の誘惑に打ち勝っている模様。
という部分が事実とは異なる状況になりつつあるので(まあ、数字や長文、歴史系の話題が多い傾向は続くでしょうが)、できれば深夜の書き込み云々の部分は適当にカットして頂くようお願いします。再び深夜に書き込むようになっていたら、それはプライベートが元に戻った時でしょう…
というわけで、オーナーグリグリ様、今後は書き込み頻度や情報の更新速度が相当遅くなるかと思いますが、今後ともよろしくお願いします。
| [86490] 2014年 10月 26日（日）01:08:25【1】 | YT さん |
| アボガドロ数について | |
[86482] hmt さん
「N=6022垓1417京9千兆個の粒子を１モルとして纏めて扱う」
ちょっと地理の話題から脱線しますが、この手の基礎物理定数はCODATA (Committee on Data for Science and Technology; 科学技術データ委員会)が定期的(4年毎)に改訂するものです。hmt さんが書かれたアボガドロ数
NA = 6.02214179(30) × 10^23 mol^-1
は、2006年のCODATAの推奨値で、最新の2010年のCODATA推奨値によるアボガドロ数は、
NA = 6.02214129(27) × 10^23 mol^-1 (定数に対する標準誤差は4.4 × 10^-8)
となっております。
また2010 CODATAには間に合いませんでしたが、ケイ素の単結晶の解析(Andreas, B. et al. Phys. Rev. Lett. 2011, 106, 30801; Metrologia 2011, 48, S1)により、
NA = 6.02214082(18) × 10^23 mol^-1 (定数に対する標準誤差は3.0 × 10^-8; なおPRLの論文では NA = 6.02214078(18) × 10^23 mol^-1となっていた)
という実験結果が得られております。2014年のCODATAの第24回会議は来月11月上旬にニューデリーで開催される予定であり、その際にアボガドロ数の改訂が行われることになると思います。なおCODATAの会議は、1996年に日本の筑波で開催されたこともあるようです。
ところで上のアボガドロ数は、ケイ素の単結晶の解析実験により得ら得れた数字ですが、これはSI基本単位である「キログラム」や「モル」の再定義と直結する、極めて重要な問題を含んでおり、1ヶ月後には「定義値」になるかも知れません。
SI単位系といえば、長さがメートル(m)、質量がキログラム(kg)、時間が秒(s)、電流が(A)、温度が(K)、物質量がモル(mol)、光度がカンデラ(cd)ですが、この中で一番正確な定義がなされているのが、セシウム原子時計によって定義されている「秒」です。ただ原子時計に用いられるセシウム核種に混ざる不純物により、2.5 × 10^-11程度の相対的な誤差が出る可能性があり、将来的には定義に用いられる原子時計の核種が変わる可能性があります。
SI単位系ではおそらく一番馴染みが深いのが「メートル」でしょうが、現在はメートル原器ではなく、真空中の光速度による定義に変わっています。「真空中で「1秒」の299792458分の1の時間に光が進む行程の長さ」と定義文にあるように、長さの基本単位「メートル」は時間の基本単位である「秒」により定義されており、相対誤差(10^-10)も、時間の誤差よりも大きくなります。
「アンペア」と「カンデラ」の定義には「メートル」、「キログラム」(キログラムの定義については後述)、「秒」が、「モル」の定義にはアボガドロ数を介して「キログラム」が関わってきますので、これらの単位系の相対誤差は「メートル」、「キログラム」、「秒」よりも悪いものとなります。
温度の「ケルビン」は、「水の三重点の熱力学温度の 273.16分の1」という定義がなされていますが、そもそも温度というのは視覚的な測定が難しいため、建前上の定義と実用の間に大きな差があります。一応温度に関しては、測定温度範囲毎に膨張率の異なる金属を組み合わせるなどして測定するような、実用のための補正方法が別に決められていますが、室温付近でも10^-5程度の相対誤差は当たり前のように出ます。
さて、質量の単位である「キログラム」ですが、未だに「国際キログラム原器の質量」という、200年以上前の定義が使われています。各国に配られたキログラム原器を、0.1 μｇ単位(原器に対する誤差は10^-10)まで正確に計ることができる特殊な天秤で量ることで質量を校正するわけですが、キログラム原器とその複製品を比べると、200年間で±2σ ～ ±50μｇ程度 (相対誤差は10^-8のオーダー)のばらつきが出ていることが判っています。それにも関わらずキログラム原器が使われて来た理由は、これでも実用に問題無かったからですが、10年程前よりキログラム原器に替わる新しい定義として、(1) ワット天秤を用いたプランク定数による定義 と、(2) ケイ素単結晶を用いたアボガドロ数による定義 などが議論されるようになりました。現在プランク定数もアボガドロ数も、4.4 × 10^-8程度まで相対誤差が小さくなっており、これはキログラム原器に由来する質量の誤差が原因と考えられています。どちらをキログラムの定義に使うにせよ、プランク定数やアボガドロ数を定義値にすることにより、将来的に質量の潜在的な測定誤差が減ることが期待されるわけです。現状ではプランク定数による定義の方が優勢で、アボガドロ数はキログラムの定義には用いられない見通しになって来ましたが、モルの定義にはアボガドロ数が使われることになります。また電子素量により電流のアンペアの定義を、ボルツマン定数により温度のケルビンの定義を変えることも考えられており、来月11月の中旬にフランスのヴェルサイユ宮殿で開催される第25回国際度量衡総会により、「キログラム」、「モル」、「アンペア」、「ケルビン」の定義が変わるかも知れません。
なお国際度量衡総会の方は、フランスの外務大臣が議長を、フランスの科学アカデミー会長が司会進行を務め、必ずSI原器も保存されているセーヴル近辺で開催されることになっているようです。
「N=6022垓1417京9千兆個の粒子を１モルとして纏めて扱う」
ちょっと地理の話題から脱線しますが、この手の基礎物理定数はCODATA (Committee on Data for Science and Technology; 科学技術データ委員会)が定期的(4年毎)に改訂するものです。hmt さんが書かれたアボガドロ数
NA = 6.02214179(30) × 10^23 mol^-1
は、2006年のCODATAの推奨値で、最新の2010年のCODATA推奨値によるアボガドロ数は、
NA = 6.02214129(27) × 10^23 mol^-1 (定数に対する標準誤差は4.4 × 10^-8)
となっております。
また2010 CODATAには間に合いませんでしたが、ケイ素の単結晶の解析(Andreas, B. et al. Phys. Rev. Lett. 2011, 106, 30801; Metrologia 2011, 48, S1)により、
NA = 6.02214082(18) × 10^23 mol^-1 (定数に対する標準誤差は3.0 × 10^-8; なおPRLの論文では NA = 6.02214078(18) × 10^23 mol^-1となっていた)
という実験結果が得られております。2014年のCODATAの第24回会議は来月11月上旬にニューデリーで開催される予定であり、その際にアボガドロ数の改訂が行われることになると思います。なおCODATAの会議は、1996年に日本の筑波で開催されたこともあるようです。
ところで上のアボガドロ数は、ケイ素の単結晶の解析実験により得ら得れた数字ですが、これはSI基本単位である「キログラム」や「モル」の再定義と直結する、極めて重要な問題を含んでおり、1ヶ月後には「定義値」になるかも知れません。
SI単位系といえば、長さがメートル(m)、質量がキログラム(kg)、時間が秒(s)、電流が(A)、温度が(K)、物質量がモル(mol)、光度がカンデラ(cd)ですが、この中で一番正確な定義がなされているのが、セシウム原子時計によって定義されている「秒」です。ただ原子時計に用いられるセシウム核種に混ざる不純物により、2.5 × 10^-11程度の相対的な誤差が出る可能性があり、将来的には定義に用いられる原子時計の核種が変わる可能性があります。
SI単位系ではおそらく一番馴染みが深いのが「メートル」でしょうが、現在はメートル原器ではなく、真空中の光速度による定義に変わっています。「真空中で「1秒」の299792458分の1の時間に光が進む行程の長さ」と定義文にあるように、長さの基本単位「メートル」は時間の基本単位である「秒」により定義されており、相対誤差(10^-10)も、時間の誤差よりも大きくなります。
「アンペア」と「カンデラ」の定義には「メートル」、「キログラム」(キログラムの定義については後述)、「秒」が、「モル」の定義にはアボガドロ数を介して「キログラム」が関わってきますので、これらの単位系の相対誤差は「メートル」、「キログラム」、「秒」よりも悪いものとなります。
温度の「ケルビン」は、「水の三重点の熱力学温度の 273.16分の1」という定義がなされていますが、そもそも温度というのは視覚的な測定が難しいため、建前上の定義と実用の間に大きな差があります。一応温度に関しては、測定温度範囲毎に膨張率の異なる金属を組み合わせるなどして測定するような、実用のための補正方法が別に決められていますが、室温付近でも10^-5程度の相対誤差は当たり前のように出ます。
さて、質量の単位である「キログラム」ですが、未だに「国際キログラム原器の質量」という、200年以上前の定義が使われています。各国に配られたキログラム原器を、0.1 μｇ単位(原器に対する誤差は10^-10)まで正確に計ることができる特殊な天秤で量ることで質量を校正するわけですが、キログラム原器とその複製品を比べると、200年間で±2σ ～ ±50μｇ程度 (相対誤差は10^-8のオーダー)のばらつきが出ていることが判っています。それにも関わらずキログラム原器が使われて来た理由は、これでも実用に問題無かったからですが、10年程前よりキログラム原器に替わる新しい定義として、(1) ワット天秤を用いたプランク定数による定義 と、(2) ケイ素単結晶を用いたアボガドロ数による定義 などが議論されるようになりました。現在プランク定数もアボガドロ数も、4.4 × 10^-8程度まで相対誤差が小さくなっており、これはキログラム原器に由来する質量の誤差が原因と考えられています。どちらをキログラムの定義に使うにせよ、プランク定数やアボガドロ数を定義値にすることにより、将来的に質量の潜在的な測定誤差が減ることが期待されるわけです。現状ではプランク定数による定義の方が優勢で、アボガドロ数はキログラムの定義には用いられない見通しになって来ましたが、モルの定義にはアボガドロ数が使われることになります。また電子素量により電流のアンペアの定義を、ボルツマン定数により温度のケルビンの定義を変えることも考えられており、来月11月の中旬にフランスのヴェルサイユ宮殿で開催される第25回国際度量衡総会により、「キログラム」、「モル」、「アンペア」、「ケルビン」の定義が変わるかも知れません。
なお国際度量衡総会の方は、フランスの外務大臣が議長を、フランスの科学アカデミー会長が司会進行を務め、必ずSI原器も保存されているセーヴル近辺で開催されることになっているようです。
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